La formule magique pour la conversion d’une base à une autre

La conversion des nombres en base consiste à représenter un nombre dans un système de numération différent de celui dans lequel il a été originellement écrit. Les systèmes de numération les plus courants sont la base 10 (décimale), la base 2 (binaire), la base 8 (octale) et la base 16 (hexadécimale). Pour convertir un nombre d’une base à une autre, il est nécessaire de comprendre la valeur de chaque chiffre dans le système de numération d’origine et de le représenter dans la nouvelle base en utilisant les chiffres appropriés. Cette opération peut être effectuée manuellement ou à l’aide d’un programme informatique. Aujourd’hui nous allons voir comment nous pouvons faire pour passer d’une base a à une base b.

En effet il existe plusieurs moyens pour pouvoir effectuer des conversions de base et aujourd’hui nous allons nous concentrer à une que je trouve très intéressante. Il s’agit d’une méthode qui consiste à utiliser la formule suivante :

(VWXYZ)_b=(Z*b⁰ + Y*b¹+X*b²+W*b³+V*b⁴)₁₀

VWXYZ sont des chiffres appartenant à N(ensemble des entiers naturels) et b la base. Pour pourvoir convertir en base 10 il suffit simplement d’effectuer le calcul comme présenté sur la formule. Voyons comment s’effectue le calcul pour passer aux autres bases en utilisant cette formule.

• Passer de la base b à la base 10(décimale)

Dans cette formule (VWXYZ)_b = (Z*b⁰ + Y*b¹+X*b²+W*b³+V*b⁴)₁₀ pour passer de la base b à la base 10 il vous suffit d’effectuer l’opération comme vous le voyez. C’est très simple pour le passage à la base 10. Cette dernière est un peut comme la plaque tournante pour convertir d’une base 16 par exemple à une base 8, 3 ou 2.

 Exemple : (1F)₁₆=(15*16⁰+1*16¹)₁₀=(31)₁₀

• Passer de la base b à la base 16(hexadécimale)

Pour quitter de la base b à la base 16, la méthode la plus facile est de passe de b à 10 et ensuit le nombre que l’on trouve on fait la division par la base b.

Exemple : convertir (72)₈ en base 16 utilisant notre formule.

   AN : (72)₈=(2*8⁰+7*8¹)₁₀ =(58)₁₀ . Ensuit on effectue la division de 58 par 16.

58=3*16+10=(3A)₁₆ on a ainsi (72)₈=(2*8⁰+7*8¹)₁₀ =(58)₁₀=(3A)₁₆

• Passer de la base b à la base 2 (binaire)

Pour effectuer le passage de la base b à la base 2, l’un des procédés les plus facile est d’effectuer les opérations que nous venons faire plus haut pour la base hexadécimale. Nous allons premièrement quitter de la base b à la base 10, bien évidement si nous sommes déjà à la base 10 ça ne sert plus à rien de convertir. Et lorsque nous sommes à la base 10 pour arriver à la base 2 on fait simplement la divisions par 2 jusqu’à obtenir un résultat inférieur à 2 soit 1.

Exemple :  (FF)₁₆=(255)₁₀ , et en divisant 255 par 2 plusieurs fois on obtient 1111 1111.

(FF)₁₆=(255)₁₀=(11111111)₂

• Passer de la base b à la base 8 (octale)

Dans ce dernier cas nous allons passer de la base b à la base 2 en utilisant le procédé expliqué ci-dessus et ensuit on interprète juste les chiffres binaires obtenus en segmentant la suite de chiffre en block de 3 chiffres. 

Exemples : (AFEC)₁₆=(45036)₁₀=(1010111111101100)₂ ensuit on segmente le résultat obtenu en block de 3, 3 chiffres allant de la droite vers la gauche comme ceci:  001| 010 | 111 | 111 | 101 | 100. Dans le cas ou le dernier block n’atteint pas 3 chiffres vous pouvez compléter par des 00 comme je l’ai fait. Après avoir segmenté, l’interprétation est aisée. En effet,

100=4 ; 101=5 ; (111)₂=(7)₇ ; (111)₂=(7)₇ ; (010)₂=(2)₇ ; (001)₂=(1)₇ ;

Ce qui nous donnes (AFEC)₁₆=(45036)₁₀=(1010111111101100)₂=(127754)₇

Nous venons ainsi de voir comment convertir facilement et surement nos chiffres d’une certaine base b à une autre base. Nous avons pris l’exemple des bases usuelles mais vous pouvez utiliser le même principe pour convertir en d’autres bases.   Et c’était tout pour cette petite astuce calcul, bon courage dans votre étude et on se voit très prochainement.?